La conjetura de Birch y Swinerton-Dyer es una conjetura matemática, enunciada en 1965 por los matemáticos ingleses Bryan Birch y Peter Swinerton-Dyer.
Enunciado
La conjetura relaciona los datos aritméticos asociados a una curva elítica E sobre un cuerpo numérico K con el comportamiento de la Función L de Hasse-Weil L(E, s) de E ens = 1. Concretamente, se conjetura que el rango del grupo abeliano E(Q) de puntos de E es igual al orden del cero de L(E, s) en s = 1, y el primer coeficiente distinto de 0 en la expanción de Taylor de L(E, s) en s = 1 es dado por un mejor refinamiento de datos aritméticos ligados a E sobre Q. En particular, asegura que si L(E, 1) = 0, entonces el grupoE(Q) es infinito, y recíprocamente, si L(E, 1) ≠ 0, entonces E(Q) es finito.
Historia
En 1960, Peter Swinnerton-Dye usó la computadora EDSAC para calcular el número de puntos módulo p (denotado por Np) para un número largo de primos p sobre curvas elípticas cuyo rango era conocido. De esos resultados numéricos, conjeturaron que Np para una curva E con rango r obedecía una ley asintótica
Esto, a su vez, llevó a hacer una conjetura general sobre el comportamiento de la función L de una curva L( E ,s) ens = 1. La conjetura fue ampliada posteriormente para incluir la predicción precisa del coeficiente de Taylor principal de la función L en s = 1. Esto fue conjeturado mediante
donde las cantidades del miembro de la derecha son invariantes de la curva.
Solución
Aun no hay solución, El Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.