En matemática pura, la hipótesis de Riemann, formulada por primera vez por Bernhard Riemann en 1859, es una conjetura sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann ζ(s)
Enunciado
Un carácter de Dirichlet es una función aritmética completamente multiplicativa X, tal que existe un entero positivo k con χ(n +k) = χ(n) para todo n y χ(n) = 0 siempre que mcd(n, k) > 1. Si tal carácter existe, se define la función-L de Dirichlet correspondiente mediante
para todo número complejo s con parte real > 1.
Observación
La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2
Historia
Riemann mencionó la conjetura en 1859, que sería llamada la hipótesis de Riemann, en su tesis de doctorado Sobre los números primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una fórmula explícita para calcular la cantidad de primos menores que x.
Puesto que no era esencial para el propósito central de su artículo, no intentó dar una demostración de la misma. Riemann sabía que los ceros no triviales de la función zeta están distribuidos en torno a la recta s = 1/2 + i t, y sabía también que todos los ceros no triviales debían estar en el rango 0 ≤ Re(s) ≤ 1
Los intentos
- En 1896, Hadamard y de la Vallée-Poussin probaron independientemente, que ningún cero podía estar sobre la recta Re(s) = 1.
- En 1900, Hilbert incluyó la hipótesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos.
- En 1914, Hardy demostró que existe un número infinito de ceros sobre la recta crítica Re(s) = 1/2.
- En 2004 Xavier Gourdon verificó la conjetura de Riemann numéricamente a lo largo de los primeros diez trillones de ceros no triviales de la función, más adelante se percató que había un error.
Solución
Aun no hay solución, El Instituto Clay de Matemáticas ha ofrecido un premio de un millón de dólares a la primera persona que desarrolle una demostración correcta de la conjetura.